rezolvarea problemelor de construcție a secțiunilor în spațiu

Similar cu problemele " de construcție" din planimetrie, problemele " de construcție" în spațiu pot fi rezolvate parcurgînd cele patru etape clasice:

1) analiza,

2) construcția,

3) demonstrația

4) discuția.

Principalul în rezolvarea problemelor de acest gen, în spațiu este determinarea figurii respective și evidențierea, în particular, a cazurilor posibile.

      Din mulțimea de problemele " de construcție" în spațiu, vom analiza problemele de secțiuni în corpurile geometrice. În special vom analiza secțiunile în poliedre, considerînd că aceste figuri sunt deja construite. Construcția corpurilor evidențiate reprezintă un lot specific de probleme de construcție în spațiu.

       Problemele de secțiuni constau din două compartimente:

a) determinarea secțiunii

b) calcularea metrică a acestor secțiuni sau evidențierea altor relații.

      În continuare vom analiza primul compartiment.

                                            
                                                         Secțiuni în poliedre

   Începem cu secțiunea poliedrelor, dînd următoarea definiție generală:
* se numește secțiune a unui corp spațial figura, care se obține la intersecția corpului cu un plan;

* intersecția unui plan cu un corp se numește secțiunea determinată de plan în acest corp.          Problemele de secțiune a corpurilor constau, de regulă, în construcțiile proiecțiilor paralele ale secțiunilor, avînd proiecțiile paralele ale corpurilor și calcularea metrică a acestor secțiuni sau a altor combinări de figuri obținute la intersecția planului cu corpul dat.
          La construcția secțiunilor poliedrelor observăm mai întîi că secțiunea unui poliedru convex este un poligon convex plan. În caz general vîrfurile acestui poligon sunt puncte de intersecție ale planului secant cu muchiile poliedrului, iar laturile - segmentele obținute la intersecția planului secant cu fețele lui.
          În funcție de amplasare reciprocă a poliedrelor convex și planului, secțiunea poate fi vid, sau punct, sau segment, sau triunghi, sau patrulater, etc., însă numărul de laturi ale poligonului secțiune nu poate depăși numărul tuturor fețelor poliedrului. De exemplu, intersecția cubului cu planul poate avea forma de triunghi, patrulater, pentagon, hexagon, fiecare dintre aceste secțiuni fiind reprezentată în diferite variante (triunghi isoscel, triunghi scalen sau triunghi echilateral).
         La construcția secțiunii poliedrului, indiferent de metoda aplicată, e necesar a rezolva două probleme elementare:
  1. A construi punctul de intersecție a dreptei (muchiile poliedrului) cu planul secant.
  2. A construi dreapta de intersecție a două plane (a planului secant și planului feței poliedrului)
fig. 1
     Pentru a construi punctul de intersecție A al unei drepte a cu planul a  se găsește în planul a o dreaptă b, care intersectează dreapta a. Sau prin dreapta a se duce un plan auxiliar și se găsește dreapta b de intersecție a acestor două plane. Punctul A de intersecție a dreptelor a și b este cel căutat. (fig. 1).  

                        Desigur, planul auxiliar se alege astfel, încît dreapta b de intersecție a acestor două plane să fie cunoscută sau ușor de construit.     

         Pentru a construi dreapta de intersecție a două plane se găsesc două puncte ale ei prin care se duce o dreaptă. Sau pentru a construi dreapta de intersecție a două plane, în unul din ele se aleg două drepte a și b, care intersectează al doilea plan și se află punctele A și B  de intersecție a acestor drepte cu al doilea plan. Punctele comune A și B a acestor două plane definesc unica dreaptă comună AB.      

          La construcția acestor secțiuni este bine să ținem cont de următoarele considerente:

• C/ pentru a construi o secțiune se află dreptele, după care planul secțiunilor se intersectează cu planele fețelor poliedrului.
• C// pentru a construi dreapta de intersecție a planelor se află două puncte ale ei, prin care se duce dreapta de intersecție.
• C/// punctele dreptei de intersecție a planelor (din C//) se detrmină că punctele de intersecție ale dreptei cunoscute, situată în unul din plane, cu celălalt plan.
• C//// pentru a construi un astfel de punct de intersecție (din C///) a dreptei date cu planul dat, în acest plan se evidențiază o dreaptă care o intersectează pe cea dată - punctul se va obține la intersecția acestor drepte.

        Similar pot fi aplicate și considerentele alternative indicate mai sus pentru construcția punctului de intersecție și a dreptei de intersecție necesare.       

           În scopul evidențierii aplicării acestor considerente generale se va rezolva, de exemplu, următoarea problemă.

Problemă: Să se construiască secțiunea unei prisme patrulatere regulate   printr-un plan ce trece prin mijlocul M și N  ale muchiilor AD, DC ale bazei de jos și vîrful  al bazei de sus.
 Se dă: - prismă patrulateră regulată,                                                                           -plan secant.
De aflat: secțiunea determinată de planul secant
Rezolvare: unim punctele M și N, care aparțin aceluiași plan (planul bazei), construim punctul F de intersecție a dreptei MN și a dreptei BC, punctul F aparține planului și planului secant, construim punctul E de intersecție a dreptei AB și FM, unim punctul F și primim dreapta de intersecție a planului secant cu planulConstrucțire:        fig.2Demonstrație: Secțiunea determinată satisface condițiile problemei. (vezi condiția mai sus)Cercetare: Secțiunea determinată este un pentagon (fig. 2)Răspuns: Pentagonul                                                                                                                                                                                                             este secțiunea căutată

  

       La construcția secțiunilor, de asemenea, se aplică proprietățile dreptelor, dreptelor și planelor, planelor, cît și proprietățile și elementele respective ale poliedrelor etc.

În publicația următoare vom încerca să clasificăm problemele de construcție a secțiunilor după diferite criterii.